Question

（本小题满分14分）设数列的前项和为，点在直线上，为常数，．

（1）求；

（2）若数列的公比,数列满足，求证：为等差数列，并求；

（3）设数列满足，为数列的前项和，且存在实数满足，，求的最大值．

Answer

（1）   （2）  （3）的最大值是 .

【解析】(1)根据条件可以得到,然后再用n-1替式子中的n,两式作差再利用,可以找到之间的递推关系.从而可以证明为等比数列.

(2) 根据，可找出数列的递推关系，从而可证明为等差数列,进而求出其通项公式.

（3）在（1）（2）的基础上，先求出

从而可知是递增的.

（1）由题设，           ①……………1分 

        ………2分

由①，时，   ②  ………………3分 

①②得，   ……………4分

        ……………………………………5分

（2）由（1）知化简得：

是以1为首项、为公差的等差数列，………………………8分

    ∴      ………………10分

（3）由（2）知

    为数列的前项和，因为，所以是递增的……12分

所以要满足，，   ………………13分

所以的最大值是        ………………………14分