Question

(本小题满分12分)   

如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）试确定点的位置，使得平面；

（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】(I)可以先证明平面,再证明即可.

(II)连接CM，若平面，平面平面，∴，从而可根据平行线分线段成比例定理，可确定点M的位置.

(III)不难找出二面角的平面角为，然后解三角形MON求角即可.

（Ⅰ）连结，∵平面，平面，∴，

又∵，，

∴平面，

又∵，分别是、的中点，∴，

∴平面，又平面，

∴平面平面；---------------------------------------4分

（Ⅱ）连结，

∵平面，平面平面，∴，

∴，故  ----------------------------6分

（Ⅲ）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，点为的中点，∴，

∴为所求二面角的平面角， ---------------------------------8分

∵点是的中点，∴，

所以在矩形中，可求得，，，----------10分

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值为． ------------------------------12分