Question

(本小题满分14分)

设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为．

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；

（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望．

Answer

（1）．                                                

（2）的分布列为：

0

1

2

3

的数学期望．

（或者： ，故）

【解析】(1)先作出不等式的可行域，找出其中的整点，从而求出所求事件的概率.

(2)先确定X的可能取值为0,1,2,3,然后再求出每一值对应的概率，列出分布列，根据期望公式求出期望值.

（1）依题可知平面区域的整点为共有13个，平面区域的整点为共有5个，  ∴．                                                

（2）依题可得：平面区域的面积为：，平面区域的面积为：．

在区域内任取1个点，则该点在区域内的概率为，

易知：的可能取值为，                     

 ．

∴的分布列为：

0

1

2

3

的数学期望．

（或者： ，故）