Question

一动圆与圆外切，与圆内切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)设过圆心的直线与轨迹相交于、两点，请问（为圆的圆心）的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）．

(2) 存在直线,的内切圆M的面积最大值为

【解析】1）设动圆圆心为，半径为．

由题意，得，， ．     …………3分

由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上，且，

．

动圆圆心M的轨迹的方程为． ……6分

(2) 如图,设内切圆N的半径为,与直线的切点为C，

则三角形的面积

 =

当最大时,也最大, 内切圆的面积也最大,  …………7分

设、(),则,  ……8分

由,得,

解得,,    …………10分

∴,令,则,且,

有,令,则,

当时,,在上单调递增,有,,

即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,

∴存在直线,的内切圆M的面积最大值为.           …………14分