Question

（本小题满分14分）如图5，正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．

（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。

Answer

（1）见解析；（2）；（3）在线段BC上存在点P使AP⊥DE。此时，.

【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面的位置关系，以及二面角的求解，以及线线垂直的综合运用。

（1）在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF

（2）建立空间直角坐标系，得到发向量，运用法向量的夹角的都二面角的平面角的求解。

（3）设

得到点P的值。

（1）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．          …………3分

 法一：（2）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，.…………4分

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，

则

 即，                …………6分

，所以二面角E—DF—C的余弦值为；…8分

（3）设，

又，

。     …………10分

把，

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE。此时，.        …………12分