Question

(本小题满分14分)

某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出元；③电力与机器保养等费用为元.其中是该厂生产这种产品的总件数。

（1）把每件产品的成本费(元)表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为（元），且，试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润。（总利润=总销售额-总的成本）

Answer

（1），，每件产品的最低成本费为220元。

（2）生产100件产品时，总利润最高，且最高利润为元。

【解析】本试题主要是考查了函数在实际生活中的运用。函数数学模型的理解和解决问题的能力的培养。

（1）因为每件产品的成本费(元)表示成产品件数的函数，然后利用均值不等式的思想求解最值。

（2）利润等于收入减去成本，那么设总利润元，则

然后借助于导数的思想得到最值。

（1），……………3分

由基本不等式得： ……………………………………………5分

当且仅当，即时等号成立，

所以，，每件产品的最低成本费为220元。…………………6分

（2）设总利润元，则

 ……………………………………9分

所以

=    ………………………11分

当时，，当时，，

所以在[1,100]上是增函数，在[100,170]上是减函数， ………………………………12分

所以当时，函数取得最大值，

所以生产100件产品时，总利润最高，且最高利润为元。………………………14分