Question

(本小题满分16分)

如图，椭圆(a>b>0)的上、下两个顶点为A、B，直线l：，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为，BP所在的直线的斜率为．若椭圆的离心率为，且过点．

（1）求的值；

（2）求MN的最小值；

（3）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点，

若过定点，求出该定点，如不过定点，请说明理由．

Answer

（1）．

（2）当且仅当时，取得最小值．（3）．

【解析】本试题主要考查了椭圆方程的求解，以及直线斜率公式的运算和圆的方程的求解的综合运用。

（1）1）因为，，解得，

所以椭圆的标准方程为并且设椭圆上点，有，

所以 

（2）因为在直线l：上，所以设，，由方程知，，所以，又由（1）知，所以 

不妨设，则，则，

运用不等式的思想得到最值。

（3）设，，

则以为直径的圆的方程为

即，圆过定点，必与无关，

所以有，解得定点坐标为，

所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点以函数在实数集上有最小值时，实数的取值范围为

（1）因为，，解得，

所以椭圆的标准方程为．……………2分

设椭圆上点，有，

所以．…………4分

（2）因为在直线l：上，所以设，，由方程知，，

所以，……………………………………………………6分

又由（1）知，所以，…………………………………………8分

不妨设，则，则，

所以当且仅当时，取得最小值．…………………………………………10分

（3）设，，

则以为直径的圆的方程为……………………………………12分

即，圆过定点，必与无关，

所以有，解得定点坐标为，

所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点．………………………16分

以函数在实数集上有最小值时，实数的取值范围为．……………16分