Question

 (本小题满分16分)

已知数列，，且满足（）.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，且.记，求证：数列为常数列；

（3）若，且.若数列中必有某数重复出现无数次，求首项应满足的条件.

Answer

（1）数列的通项为. （2）见解析；

（3）当时，数列中必有某数重复出现无数次.

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解，以及数列的概念和数列的单调性的运用。

（1）当时，有累加法得到

，也满足上式，

所以数列的通项为.

（2）因为，

所以对任意的有，

所以数列是一个以6为周期的循环数列

进而证明为常数列

（3）因为，且，所以，

且对任意的，有，  

设，（其中为常数且），所以

，

所以数列均为以7为公差的等差数列.记，构造新数列来分析周期性和最值问题。

（1）当时，有

 ……………………1分

，也满足上式，

所以数列的通项为. ………………………………………………………3分

（2）因为，

所以对任意的有，

所以数列是一个以6为周期的循环数列……………………………………………………5分

又因为，所以

所以

，

所以数列为常数列. ……………………………………………………………………7分

（3）因为，且，所以，

且对任意的，有，  

设，（其中为常数且），所以

，

所以数列均为以7为公差的等差数列.……………………………………………10分

记，则，

（其中，为中的一个常数），

当时，对任意的有；…………………………………………12分

当时，

①若，则对任意的有，数列为单调减数列；

②若，则对任意的有，数列为单调增数列；

综上，当时，数列中必有某数重复出现无数次……………14分

当时，符合要求；当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

即当时，数列中必有某数重复出现无数次.………………………16分