Question

 选修4­2：矩阵与变换

已经矩阵M＝．

(1)求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；

(2)求M的特征值与特征向量．

Answer

 (1) ．

(2)当λ1＝4时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；

当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝．

【解析】本试题主要是考查了矩阵的运算，以及特征向量的求解和特征多项式的表示的综合运用。

（1）因为M＝． 设直线上任意一点在 作用下对应点，则  ＝ ，

（2）因为矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，进而讨论得到特征向量。

(1)因为M＝． 设直线上任意一点在 作用下对应点，则  ＝ ，………………………………………………………………２分

即，所以，代入，得，即，

所以所求曲线的方程为．……………………………………………………………4分

(2)矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，

所以M的特征值为λ1＝4，λ2＝5．  …………………………………………………………6分

当λ1＝4时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；

当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝．…………………………………………10分