Question

（本小题满分16分）

已知直线：与直线：．

（1）当实数变化时，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；

（2）若直线通过直线的定点，求点所在曲线的方程；

（3）在（2）的条件下，设，过点的直线交曲线于两点(两点都在轴上方)，且，求此直线的方程．

Answer

（1）定点的坐标为．（2）．（3）的方程为．

【解析】本试题主要考查了直线的位置关系的运用，以及求解轨迹方程和直线方程的综合运用。

（1）因为直线：与直线：．

，那么当实数变化时，直线表示为过两条直线交点的直线系方程可知其过定点，并求出这个定点的坐标；

（2）因为直线通过直线的定点，则可知点所在曲线的方程；

（3）在（2）的条件下，设，过点的直线交曲线于两点(两点都在轴上方)，且，运用向量的共线的知识得到结论。

（1）的方程化为，…………………………2分

由题意，解得所以定点的坐标为．………………4分

（2）由过定点，得，化简得，

所以点所在曲线的方程为．……………………………………8分

（3）因为，所以，且，

所以，所以，所以，所以．…………10分

设，则，

由，得，又由

由①②③④解之得所以，……………………………………………14分

所以的方程为．……………………………………………………16分