Question

（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知，M为A₁B与AB_１的交点，N为棱B₁C₁的中点

（１）   求证：MN∥平面AA_１C_１C

（２）   若AC＝AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC

Answer

见解析。

【解析】本试题主要是考查了线面平行的证明与线面垂直的证明的综合运用。

（1）线面平行的证明关键是证明线线平行，结合判定定理得到结论。

（2）对于线面垂直的判定，我们可以利用线线垂直，如果一个平面内的一条直线垂直于某个平面内的任意两条相交直线，则线面垂直的定理得到。

⑴连接，因为为与的交点，所以是的中点，又为棱的中点.所以∥，………………………４分

又因为平面，平面，

所以∥平面. …………………………6分

⑵ 因为，所以四边形是正方形，

所以，又因为是直三棱柱，

所以平面，

因为平面，所以．

又因为，所以，

因为，所以平面，

所以,又平面，………………………………………………8分

因为∥，所以，， ………………………………10分

又，所以平面.……………………………………………14分