Question

（本小题满分14分）

在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为。

（１）  求f(h)的表达式，并写出h的取值范围是 ；

（２）  求三个圆柱体积之和V的最大值；

Answer

(1)的取值范围是；⑵三个圆柱体积和的最大值为．

【解析】本试题是以半球为背景，表示圆柱体的高度的关系式，以及体积的运用，并结合导数来求解最值问题。

（1）利用球的半径和圆柱的高度得到关于r与半径的关系式，从而得到高度的表示。

（2）而圆柱体的体积就是底面积乘以高，那么三个柱体的体积可以借助于第一问中的高度表示出来，再集合导数的思想求解体积的最值。

解:(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为：

．       ………………………………3分

它们的高均为，所以体积和

 6分

因为，所以的取值范围是；  ………………………………………7分

⑵ 由得，     ………………9分

又，所以时，；时，．11分

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以时，取最大值，的最大值为．  ………13分

答：三个圆柱体积和的最大值为． …………………………………………14分