Question

（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：，点F（1，0），E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D。

（１）  求点B的轨迹方程；

（２）  当D位于ｙ轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；

（３）  若G是圆上的另一个动点，且满足FG⊥FE。记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由。

Answer

(1)； ⑵直线的方程为．

⑶点到坐标原点的距离为定值，且定值为．

【解析】本试题主要是考查了运用椭圆的定义求解曲线的轨迹方程的问题，以及直线方程的求解。和两点之间距离的表示等知识的综合运用。

（1）根据已知条件分析动点满足的关系式，会发现，其符合椭圆的定义，得到其轨迹方程。

（2）当点D位于y轴的正半轴上时，因为d是线段EF的中点，O为线段CF的中点，

所以CE∥OD，且CE=2DO，

所以E,D的坐标分别为(-1,4)和(0,2),再结合中垂线方程得到直线的方程。

（3）利用圆的方程和中点坐标公式表示出两点之间的距离，得到为定值。

(1)由已知，所以，

    所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆，

所以点的轨迹方程为；   ……………………………………………4分

  ⑵当点位于轴的正半轴上时，因为是线段的中点，为线段的中点，

所以∥，且，

所以的坐标分别为和，   ………………………………………7分

因为是线段的垂直平分线，所以直线的方程为，

即直线的方程为．         ……………………………………10分

⑶设点的坐标分别为和，则点的坐标为，

因为点均在圆上，且，

所以       ①

       ②

     ③     …………………………………………13分

所以，，．

所以

，

即点到坐标原点的距离为定值，且定值为．………………………………16分