Question

如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为.

（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.

（2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？

（3）其最大值是多少？(用含R的式子表示)

Answer

（Ⅰ）S，.

（Ⅱ）当时，矩形ABCD的面积S有最大值.

【解析】(1)本小题以为变量，然后把AB，BC用角表示出来，则根据，求出S关于的表达式.注意.

(2) 因为，则,从而可确定S的最大值

（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以.

设OM于BC的交点为F，则，.

.

所以

，.

（Ⅱ）因为，则.

所以当 ，即 时，S有最大值..

故当时，矩形ABCD的面积S有最大值