Question

已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．

Answer

（1）．    （2）．       

【解析】（1）本小题属于相关点法求轨迹方程，设，然后再设出相关动点，,根据P是线段AB的中点，以及,可以消去，得到x,y的普通方程.

(2)设出直线的方程为,再设、、，然后直线方程与椭圆C的方程联立，根据，可找到,,同理,则,然后再利用韦达定理证明

（1）设，，

∵是线段的中点，∴                         ………2分

∵分别是直线和上的点，∴和．

∴                               …………4分

又，∴．                  …………5分

∴，∴动点的轨迹的方程为．      …………8分

（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．

设、、，

则两点坐标满足方程组

消去并整理，得，          …………10分

∴， ①    ．    ②            ………12分

∵，∴．

即∴．∵与轴不垂直，∴，

∴，同理．                           ………14分

∴．

将①②代入上式可得