Question

设数列{_n}满足₁＝，_n＋1＝_n²＋₁，．

(Ⅰ)当∈(－∞,－2)时，求证：M；

(Ⅱ)当∈(0,］时，求证：∈M；

(Ⅲ)当∈(,＋∞)时，判断元素与集合M的关系，并证明你的结论．

Answer

见解析

【解析】(I) 如果，则，．(2)易采用数学归纳法证明.

（3）本小题难度偏大，一般学生解决不了，可以放弃，放弃也是一种勇气，也是一种能力.

本小题的思路是对于任意，，且．

对于任意，，

则．所以，．进行到此，问题基本得以解决

证明：（1）如果，则，． ……………2分

（2） 当 时，（）．

事实上，当时，． 设时成立（为某整数），

则对，．

由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．…………………6分

（3） 当时，．证明如下：

对于任意，，且．

对于任意，，

则．所以，．

当时，，即，因此