Question

已知函数的图像经过点A(0，0)，B(3，7)及C，为数列 的前n项和

（I）求

（II）若数列满足，求数列的前n项和

Answer

（I）Sn＝2n－1（n∈N*an＝2n－1（n∈N*）．（II）＝6（n－1）·2n＋1－＋12

【解析】本试题主要是考察了数列的通项公式和前n项和的关系式的运用。

（1）因为函数的图像经过点A(0，0)，B(3，7)及C，则可以得到 f （x）＝2x－1，∴Sn＝2n－1（n∈N*），从而得到通项公式。

（2）由（1）知cn＝12nan－n＝6n×2n－n．，结合错位相减法得到和式

（I）由，得，            ……2分

∴f （x）＝2x－1，∴Sn＝2n－1（n∈N*）．……3分

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1． ………4分

当n＝1时， S1＝a1＝1符合上式．                            ………5分

∴an＝2n－1（n∈N*）．                      ………6分

（II）由（1）知cn＝12nan－n＝6n×2n－n． ………8分

从而Tn＝6（1×2＋2×22＋…＋n×2n）－（1＋2＋…＋n）

错位相减法得：＝6（n－1）·2n＋1－＋12．