Question

已知直线过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于、两点，点、F、 在直线上的射影依次为点、、.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交y轴于点，且，当变化时，探求 的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

（3）连接、，试探索当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

Answer

（Ⅰ  （Ⅱ）当变化时， 的值为定值；    （Ⅲ）当变化时，与相交于定点  

【解析】（Ⅰ）由题设条件能够求出c=1，b= 3，从而求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，由根与系数的关系推导λ1+λ2的值．

（Ⅲ）由题设条件想办法证明点N在既直线lAE上，又在直线lBD上，∴当m变化时，AE与BD相交于定点