Question

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}{－10，－6，－2,0,1,3,4,16}．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n＋a₂b_n－1＋a₃b_n－2＋…＋a_nb₁＝2ⁿ⁺¹－n－2对一切n∈N^*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由．

Answer

(1) an＝2n－1，         (2) bn＝n，

【解析】（1）由等比数列递增的性质得其首项为1，公比为4，可得到通项公式；（2）先由数列的前两项满足等式，求出；再写出,错位相减求出。即证出存在数列{bn}，结论成立

(1)因为{an}是递增的等比数列，所以数列{an}的公比是正数，

又{a1，a3，a5}{－10，－6，－2,0,1,3,4,16}，所以a1＝1，a3＝4，a5＝16，

从而q2＝＝4，q＝2，an＝a1qn－1＝2n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，

(2)假设存在满足条件的等差数列{bn}，其公差为d.则当n＝1时，a1b1＝1，

又∵a1＝1，∴b1＝1；

当n＝2时，a1b2＋a2b1＝4，b2＋2b1＝4，b2＝2.

则d＝b2－b1＝1，∴bn＝b1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.

以下证明当bn＝n时，a1bn＋a2bn－1＋…＋an－1b2＋anb1＝2n＋1－n－2对一切n∈N*都成立．

设Sn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋an－1b2＋anb1，

即Sn＝1×n＋2×(n－1)＋22×(n－2)＋23×(n－3)＋…＋2n－2×2＋2n－1×1，  ①

2Sn＝2×n＋22×(n－1)＋23×(n－2)＋…＋2n－1×2＋2n×1，              ②

②－①得Sn＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝－n＋＝2n＋1－n－2，

所以存在等差数列{bn}，bn＝n，使得a1bn＋a2bn－1＋…＋an－1b2＋anb1＝2n＋1－n－2对一切n∈N*都成立.