Question

已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）设，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．

Answer

（1）当时，的单调增区间为.当时，函数的单调递增区间为，单调递区间为      （2）

【解析】（1）对函数求导，令导函数大于（小于）0，得函数的增（减）区间，注意函数的定义域和的讨论；（2）要使任意，总存在，使得，只需，的最大值易求得是1，结合（1）得函数最大值为，解不等式得范围

（1）………………2分

当时，由于，故，故，

所以，的单调递增区间为……………3分

当时，由，得.在区间上，，在区间上所以，函数的单调递增区为，单调递减区间为……5分

所以，当时，的单调增区间为.当时，函数的单调递增区间为，单调递区间为

（2）由已知，转化为.由已知可知……………8分

由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

（或者举出反例：存在，故不符合题意）…………………9分

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，

所以，解得