Question

已知椭圆：的离心率为，过椭圆的右焦点F且斜率为1的直线交椭圆于两点，为弦的中点，为坐标原点。

（1）求直线的斜率；

（2）对于椭圆上的任意一点，试证：总存在，使得等式成立.

Answer

（1）.（2）见解析

【解析】（1）由椭圆的离心率为，得到的关系，把椭圆的方程化为，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用跟与系数的关系求出点的坐标用表示，就得到直线的斜率；（2）根据平面向量基本定理得有且只有一对实数使得等式成立，再由点在椭圆上和（1）中的根与系数求得，然后再证明存在，满足结论成立

显然与是同一平面内的两个不共线的向量,由平面向量的基本定理知,对于这一平面内的向量有且只有一对实数使得等式成立.

设,由(1)中各点的坐标可得,

,又点在椭圆C上,则代入①式,得

,整理可得

      ⑤

由②和④得又A,B两点在椭圆上,故有

代入⑤并化简,得.…………………12分

由可得,    又是唯一确定的实数,并且,

存在角,使得成立,则有,.

若,则存在(R)使得等式成立;

若,由于,于是用代换-,

同样可证得存在(R)使得等式成立.

综上所述,对于椭圆上的任意一点M,总存在(R)使得等式成立