Question

已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？请说明理由；

（Ⅱ）若（为常数，且），对任意，存在，有，试求满足的充要条件；

（Ⅲ）若，试确定所有的,使数列中存在某个连续项的和为数列中的某一项，请证明.

Answer

（1）不存在、，使等式成立。（2）、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数     （3）见解析

【解析】（1）把代入整理得的关系，分析均为整数时，等式不成立，可得结论；（2）从特殊入手，先找到与 的关系，再对一般的给出证明；（3）由等比数列的求和公式求出数列中存在某个连续项的和，令，分析为奇数与偶数，利用二项式定理整理得到为奇数时满足条件

（1）由得，整理后，可得 、，为整数不存在、，使等式成立。………………4分

（2）当时，则，即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，

显然，其中

、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数……………………9分

（3）设，即，

整理得 

当为偶数时，式左边为4的倍数，右边仅为2的倍数，故当为偶数时，结论不成立。

当时，符合题意。当，为奇数时，

   由，得

当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时，命题都成立。

另【解析】
设   ，

由为奇数，为大于等于3的奇数。

当为偶数时，式左边==偶数，式右边==奇数，此时矛盾；

当为奇数时，式左边==奇数，所以存在满足条件的，使得

成立。

综上所述，为奇数时，满足条件