Question

（本小题14分）已知函数 

（Ⅰ）若且函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：，…….

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的极值，和不等式的恒成立问题，以及证明不等式。

【解析】
（Ⅰ）因为， x 0，则，

求解导数，判定函数单调性，得到极值。

因为函数在区间（其中）上存在极值，

得到参数k的范围。

（Ⅱ）不等式，又，则 ，构造新函数,则 

 令，则，

分析单调性得到证明。

（Ⅲ）由（2）知：当时，恒成立，即，，

令 ，则；可以证明。

【解析】
（Ⅰ）因为， x 0，则，

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，

所以函数在处取得极大值；……….2分

因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以 解得；……….4分

（Ⅱ）不等式，又，则 ，,则；……….6分

 令，则，

，在上单调递增，，

从而， 故在上也单调递增， 所以，

所以.  ；……….8分

（Ⅲ）由（2）知：当时，恒成立，即，，

令 ，则；……….10分

所以 ，，……

,

n个不等式相加得

即……….14分