Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在AB₁、BC₁上，且AM=AB₁，BN=BC₁，则下列结论：①AA₁⊥MN；②A₁C₁// MN；③MN//平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN，其中，

正确命题的个数是（  ）

     A．1             B．2             C．3               D．4

Answer

B

【解析】解；在正方体ABCD-A1B1C1D1的四条棱A1A，B1B，C1C，D1D上分别取点G，F，E，H四点，

使AG= A1A，BF=B1B，CE=C1C，DH= D1D，连接GF，FE，EH，HG，

∵点M、N分别在AB1、BC1上，且AM=AB1，BN= BC1，

∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，

∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥平面GFEH，∵MN⊂平面GFEH，∴AA1⊥MN，∴①正确．

∵A1C1∥GE，而GE与MN不平行，∴A1C1与MN不平行，∴②错误．

∵平面GFEH∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面GFEH，∴MN∥平面A1B1C1D1，∴③正确．

∵B1D1⊥FH，FH⊂平面GFEH，MN⊂平面GFEH，B1D1⊂平面A1B1C1D1，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，

且MN与FH不平行，∴B1D1不可能垂直于MN，∴④错误

∴正确命题只有①③

故选B