Question

如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9。

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正切值。

Answer

（1)证明见解析  （2）二面角的平面角的正切值为。

【解析】本试题主要是考查了立体几何中面面垂直的判定和二面角的求解的综合运用。

（1）要证明面面垂直，只要证明线面垂直，再结合面面垂直的判定定理得到结论。

（2）合理的建立空间直角坐标系，然后求解得到平面的法向量和法向量，运用向量的夹角公式得到二面角的平面角的求解。

（1)证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，

∴。

在正方形中，，

∵，∴平面．∵平面，

∴平面平面。 ……………………………………………6分

（2）解法1：

∵平面，平面，

∴。

∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，。 ∴。

过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，∴。∵，

∴平面。∵平面，

∴。∵，，

∴平面。∵平面，∴。

∴是二面角的平面角。…………………………………10分

在△中，，，，

∵，∴。

在△中，，∴。

故二面角的平面角的正切值为。 …………………………12分

解法2：∵平面，平面，

∴。∴为圆的直径，即。

设正方形的边长为，在△中，

，

在△中，，

由，解得，。∴。

以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

， 。……………8分

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量。…………9分

设平面的法向量为，则即

取，则是平面的一个法向量。…………10分

,.

 ∴

故二面角的平面角的正切值为