Question

已知函数 ，．

   (1）当  时，求函数  的最小值；

   (2）当  时，讨论函数  的单调性；

   (3）是否存在实数，对任意的 ，且，有,恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer

（1）最小值为 ．（2）（1）当时，若为增函数；

为减函数；为增函数．

(2)当时,时,为增函数;

（3）当时，为增函数；

为减函数；

为增函数．  

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。分析函数的单调性和函数的最值，和不等式的证明综合运用。

（1）利用已知函数求解函数的定义域，然后求解导函数，分析导数大于零或者小于零的解得到单调区间。

（2）根据已知的函数的单调性，对于参数a分情况讨论，得到最值。

（3）假设存在实数a满足题意，则利用函数的 单调性得到a的范围

解；（1）显然函数的定义域为，       .........1分

当．     ............2分

∴ 当，．

∴在时取得最小值，其最小值为 ．  ........ 4分

（2）∵， ....5分

∴（1）当时，若为增函数；

为减函数；为增函数．

(2)当时,时,为增函数;

（3）当时，为增函数；

为减函数；

为增函数．    ............ 9分

（3）假设存在实数使得对任意的 ，且，有,恒成立，不妨设，只要，即：

令，只要 在为增函数

又函数．

    考查函数   ............10分

      要使在恒成立，只要，

             故存在实数时，对任意的 ，且，有,恒成立，