Question

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.

（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；

（Ⅱ）求三棱锥C—PBD的体积.

Answer

（Ⅰ）证明见解析   （Ⅱ）P

【解析】本试题主要是考查了线面平行的判定和三棱锥体积的求解的综合问题。培养了同学们的推理论证能力和计算能力。

（1）根据已知的条件关键是分析出EF//PA，利用线面平行判定定理得到

（2）根据上一问中的结论可知PM⊥平面ABCD.然后利用转换顶点的思想求解棱锥的体积。【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC，则F是AC的中点，

E为PC的中点，故在CPA中，EF//PA，

且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF//平面PAD

（Ⅱ）取AD的中点M，连接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD.

在直角PAM中，求得PM=，∴P