Question

如图，在四棱锥中，底面，四边形为长方形，，点、分别是线段、的中点．

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请指出点的位置，并证明平面；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）见解析；(Ⅱ) 在线段上存在一点，使得平面，此时点为线段的四等分点。理由见解析。

【解析】（1）由三角形中位线的性质得，又，所以.根据线面平行的判定定理可证得结论；（2）由已知得，关键是证，当点为线段的四等分点时，有△∽△，可得.

（Ⅰ）∵，，∴，

又∵平面,平面，

∴平面． ……………………6分

(Ⅱ) 在线段上存在一点，使得平面，

此时点为线段的四等分点，

且，    …………………… 8分

∵底面，∴，

又∵长方形中，△∽△，∴，······································ 10分

又∵，∴平面．         12分