Question

如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线于两点，圆心点到抛物线准线的距离为．

(Ⅰ)求抛物线的方程；

(Ⅱ)当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；

(Ⅲ)若直线在轴上的截距为，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）抛物线的方程为．（Ⅱ）．

（Ⅲ）当时，．

【解析】（1）求出圆心坐标，抛物线的准线方程，由圆心到准线的距离可求出，就得到抛物线的方程；（2）当的角平分线垂直轴时，可得点，的斜率与的斜率互为相反数.设出的坐标，表示出的斜率与的斜率，和点在抛物线上，即可求出的斜率.（3）设出的坐标，由可得的斜率，可写出的方程，同理得的方程.就得到的方程.令，可得，求出函数的值域即得到的最小值．

（Ⅰ）∵点到抛物线准线的距离为，

∴，即抛物线的方程为．····························································· 2分

（Ⅱ）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，

设，，

∴，∴ ，

∴. ··················································································· 5分

．··························································· 7分

法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，

联立方程组，得，

∵,

∴，．······································································ 5分

同理可得，，∴．································· 7分

（Ⅲ）法一：设，∵，∴，

可得，直线的方程为，

同理，直线的方程为，

∴，

，································································· 9分

∴直线的方程为，

令，可得，

∵，∴关于的函数在上单调递增，

∴当时，．·············································································· 12分

法二：设点，，．

以为圆心，为半径的圆方程为，·· ①

⊙方程：．······················ ②

①-②得：

直线的方程为．·············· 9分

当时，直线在轴上的截距，

∵，∴关于的函数在上单调递增，

∴当时，．         12分