Question

如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）

 

（Ⅰ）求证：⊥平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】(I)在平面图形中证明,即可.

(2)可以采用空间向量法求解，求出平面的法向量，那么与的夹角（锐角）与所求线面角互余.

（Ⅰ）证明：取中点，连结

因为，，

所以，而，即△是正三角形.又因为, 所以.所以在图2中有，.

所以为二面角的平面角. 

又二面角为直二面角， 所以.   

又因为, 所以⊥平面,即⊥平面.     

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

则，，，.

在图１中，连结.因为，

所以∥，且.所以四边形为平行四边形.

所以∥，且.

故点的坐标为（1，，0）.图2

所以， ，

不妨设平面的法向量，则

即令，得.

所以

故直线与平面所成角的大小为.