Question

已知函数在处的切线斜率为零．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；

(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ）证明：见解析；(Ⅲ) ．

【解析】(I)根据求出x0和b的值.

(II)利用导数研究出f(x)的最小值，证明f(x)的最小值不小于零即可.

（III）先求出,然后分、和三种情况求其最小值m，根据m>2e,求出a的取值范围.

（Ⅰ）【解析】
.

由题意有即，解得或（舍去）．

得即，解得．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

．在区间上，有；在区间上，有．       故在单调递减，在单调递增，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有恒成立．

(Ⅲ)【解析】
．

当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意；

当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；

当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数的取值范围．