Question

已知椭圆：的左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为，离心率是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点 (为椭圆的右焦点)．

Answer

（Ⅰ）． （Ⅱ）证明：见解析 。

【解析】(I)由题意可得,再根据,求出a,b的值.

(II) 以为直径的圆与直线相切于点本质是证明：且.然后利用坐标表示出来，再根据条件把M、N的坐标求出来，证明即可.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

（Ⅰ）【解析】
由已知

 解得，．  …………4分故所求椭圆方程为．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，设椭圆右焦点．设，则． 于是直线方程为 ，令，得；

所以，同理．

所以，.

所以

．

所以 ，点在以为直径的圆上．

设的中点为，则．

又，

所以

．

所以 ．…………12分

因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，故以为直径的圆与直线相切于右焦点．