Question

 已知函数，

（1）当时，求的极值；

（2）当时，求的单调区间；

（3）对任意的恒有成立，求m的取值范围。

Answer

（Ⅰ）时，有极小值为，无极大值                                                                  

（Ⅱ）当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，在单调递减.

当时，的递减区间为；递增区间为. 

（Ⅲ） .                                

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用。

（1）因为当时，求解得到，然后分析定义域和导数的符号，解不等式得到单调性，确定得到极值；

（2）因为当时，求的导函数为，然后分析参数a的分类讨论思想得到相应的单调区间。

（3）要使对任意的恒有成立，只要求解函数的最大值小于即可得到m的取值范围。

【解析】
（Ⅰ）依题意，知的定义域为.                -------------1分

当时， ，.

令，解得

当时，；当时， .

在上递减，在 上递增

所以时，有极小值为，无极大值               

                                                          ---------------3分

（Ⅱ）                              

当时，，  令，得或，令，得；

当时，得，令，得或，令，得；

当时，.                                           

综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，在单调递减.

当时，的递减区间为；递增区间为. 

                                                        ---------------7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.

当时，取最大值；当时，取最小值.

所以

.

因为恒成立，

所以，整理得.        

                                                        ---------------10分

又 所以，   又因为 ，得，

所以所以 .                                

                                                                ---------------12分