Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2。

（2）若∠PDC=120°，求四棱锥P—ABCD的体积。

Answer

（Ⅰ）见解析  （Ⅱ）V＝

【解析】本试题主要是考查了立体几何中的面面垂直的证明和棱锥体积的计算的综合运用。

（1）因为要证明面面垂直，只要利用面面垂直的判定定理，先证明线面垂直，然后在得证。

（2）要求解棱锥的体积，关键是求解棱锥的高，借助于余弦定理和解三角形得到

【解析】

（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BCÌ平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵BCÌ平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．           …4分

（Ⅱ）连结AC，则设PA＝a（a＞0），则

由余弦定理，cos∠PDC＝      …9分

解得a＝故四棱锥P—ABCD的体积V＝·(AB＋CD)·BC·PA＝