Question

已知函数。

   （1）判断函数的单调性；

   （2）证明：

Answer

（Ⅰ）f(x)在(0，＋∞)单调递增． （Ⅱ）见解析

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数判定函数的单调性和不等式的证明。

（1）先求解定义域，然后求解导数，分析导数的符号与函数单调性的关系得到

（2）分析原不等式就是

也就是·f(x)＞0．  然后利用对于x讨论得到结论。

【解析】
（Ⅰ）       所以f(x)在(0，＋∞)单调递增． 

（Ⅱ）原不等式就是

也就是·f(x)＞0．      由（Ⅰ），f(x)在(0，＋∞)单调递增，且f (1)＝0，

当x∈(0，1)时，f(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0；               …10分

又当x∈(0，1)时，＜0；当x∈(1，＋∞)时，＞0．

所以当x＞0，且x≠1时，－2＞0，因此＞2．