Question

(本小题满分12分)

    某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．

视觉	视觉记忆能力
偏低	中等	偏高	超常
听觉 记忆 能力	偏低	0	7	5	1
中等	1	8	3
偏高	2		0	1
超常	0	2	1	1

由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．

（I）试确定、的值；

（II）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；

（III）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望．

Answer

（1）的值为6，的值为2． （2）．

（3）的分布列为

0

1

2

3

随机变量的数学期望为．

【解析】本试题主要是考查了分布列和数学期望的运算，以及古典概型概率的运算，对立事件的概率等综合运用。

（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件，

利用古典概型概率公式，则，解得，．

（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．

记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，

则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，运用对立事件的概率公式可知．

（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为， ，然后列出分布列。

【解析】
（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件，

则，解得．………………………………………………2分

所以．

答：的值为6，的值为2．………………………………………………………3分

（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．

方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，

则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，

所以．

答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．……………………………………………………………6分

方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，

所以．

答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．……………………………………………………6分

（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，………………………7分

所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，…………………………8分

的可能取值为0，1，2，3，………………………………………………9分

因为， ，

，，

所以的分布列为

0

1

2

3

……10分

所以．

答：随机变量的数学期望为．…………………………………………12分