Question

（本小题满分12分）已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点．

（Ⅰ）若，求点的轨迹方程；

（Ⅱ）求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）点的轨迹方程为（．（Ⅱ）．

【解析】本试题主要是考查了圆锥曲线中轨迹方程的求解，以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合而运用，研究线段的比值问题。

（1）根据题意点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点，且，设点的坐标，利用直线与椭圆相交得到A,B点坐标关系式，从而的得到轨迹方程

（2）利用直线方程与曲线方程联立，得到弦长公式，表示出线段比值。

解（Ⅰ）①若直线∥轴，则点为； ②设直线，并设点的坐标分别是

，由消去，得 ， ①

由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以．

由及方程①，得，

，

即由于（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，，

代入到方程，得，整理，得（．

综上所述，点的轨迹方程为（．

（Ⅱ）①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，，所以，； ②由方程①，得

所以，，

，

所以． 因为，所以，所以，

所以．综上所述，．