Question

已知两点，，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设，若，求直线的方程．

Answer

（Ⅰ）．     （Ⅱ）

【解析】本试题主要是考查了圆锥曲线方程的求解，以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。

（1）根据已知中动点与定点的关系式可知该动点的轨迹符合椭圆的定义，则可以利用定义法求解轨迹方程。

(2)设出直线MN方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，结合题目中的三角形的面积比，可知线段的比，然后得到向量的关系式，从而结合坐标得到结论

【解析】
（Ⅰ）因为,，所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆．曲线的方程为．      ……4分

（Ⅱ）显然直线不垂直于轴，也不与轴重合或平行.  ……5分

设，直线方程为，其中.

由 得.解得或.

依题意，.     ……7分

因为，所以，则. 

于是 所以      ……9分

因为点在椭圆上，所以 .

整理得 ，解得或（舍去），从而 .

所以直线的方程为.