Question

（本小题满分12分）

    已知函数在处取得极值为2，设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。

    （1）求k的取值范围；

    （2）若对于任意，存在k，使得，求证：

Answer

（Ⅰ） ；（Ⅱ）成立 。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）中，函数在处取得极值为2那么可知道a,b的值，求解得到解析式。然后分析范围

（2）根据由于，故只需要证明时结论成立

由，得，构造函数的思想，利用导数来得到证明。

【解析】
（Ⅰ）

由及得，                          （2分）

设，得                          （4分）

（Ⅱ），令

的增区间为，故当时，.

即，故                                        （6分）

(法一)由于，故只需要证明时结论成立

由，得，

记，则

，则，

设，，

为减函数，故 为减函数

故当时有，此时，为减函数

当时，为增函数

所以为的唯一的极大值，因此要使，必有

综上，有成立                                      （12分）

（法二） 由已知：         ①

下面以反证法证明结论：

假设，则，

因为，，所以，

又，故

与①式矛盾

假设，同理可得

与①式矛盾

综上，有成立                                   （12分）