Question

如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为OA上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P。

（1）求证：PM²=PA·PC

（2）若圆O的半径为，OA=OM,求MN的长。

Answer

（1）证明略    （2）MN =2．

【解析】（1）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．

（2）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．

（2）∵OA= 3 OM=2 3 ，∴OM=2，BM2= OB 2+OM 2 =42；故MA=OA-OM= -2，CM=CO+OM=+2

又相交弦定理得：CM•MA=BM•MN⇒MN=CM•MA BM =(+2)(  -2) /4 =2．答案为：2．