Question

（本小题满分12分）

已知函数

（I）当时,求函数的图象在点A（0，)处的切线方程；

（II）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

Answer

解（I）．   

（II）在，为增函数，在为减函数。

                                                                                                    （Ⅲ）符合条件的实数不存在.  

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）运用了导数的几何意义求解曲线的切线方程问题。

（2）利用导数的运算，和导数与不等式的关系，求解得到函数的单调区间。

（3）对于不等式的恒成立问题可以转化为求解新函数的最值问题，来得到参数的取值范围的求解的这样的数学思想的运用。

解（I） 时,,

于是,,

所以函数的图象在点处的切线方程为

即．              ………………………… ……………… 2分

（II）

=，

∵，∴ 只需讨论的符号．        ……………… 4分

ⅰ）当＞2时，＞0，这时＞0，所以函数在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅱ）当= 2时，≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数．

……………… 6分

ⅲ）当0＜＜2时，令= 0，解得，．

当变化时，和的变化情况如下表：

+

0

－

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴在，为增函数，在为

减函数……………… 8分

                                                                                                    （Ⅲ）当∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知在上是减函数，在上是增函数，故当∈（0，1）时，，所以当∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．……10分

当∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即∈（1，2）时恒成立，因此，符合条件的实数不存在.    ……………… 12分