Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝2，E是PB的中点，F是AD的中点．

   （Ⅰ）求证：EF⊥平面PBC；

   （Ⅱ）求二面角F－PC－B的平面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析    （Ⅱ）

【解析】(I)根据线面垂直的判定定理，只须证明,从而证明出平面,然后证明出ＧＤ／／ＥＦ，问题到此基本得以解决.

(II)关键是作出二面角的平面角，连结，易证：,,所以是二面角的平面角,然后解三角形求角即可

（Ⅰ）取的中点，连结，则//，且,

又∵//，且,∴//且,∴四边形为平行四边形,∴//.……………………… 3分

由于平面,∴,又,∴平面,又平面,∴,在等腰直角三角形中，由为中点，∴,

，∴平面, ……………………………………………… 5分

∵//,∴平面. ………………………………………………… 6分

（Ⅱ）连结，∵,//,∴， ∵平面,∴,,∴平面，, ∴是二面角的平面角.…………… 9分

在中，,，

，所以二面角的平面角的余弦值为