Question

（本小题满分14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到DA₁EF的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小。

Answer

（I）见解析；（II）直线A1E与面A1BP所成角为60o。

【解析】本试题主要是考查了折叠图的运用。求证线面的垂直和线面较大 求解的综合运用。

（1）由于在图1中，取BE的中点D，连结DF，

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。

又AE=DE=1，∴EF⊥AD。并且在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，那么利用条件可证明。

（2））利用三垂线的逆定理作出线面角。设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，

则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，然后借助于直角三角形求解。

【解析】
不妨设正三角形的边长为3，则

（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。

又AE=DE=1，∴EF⊥AD。

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。

又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。  --------------------------------7分

（II）在图2中，A1E⊥面BEP，∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）

设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，

则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。

又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，

∴在Rt△A1EQ中，，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。

----------------------------14分