Question

，定义，其中n∈N*.

（Ⅰ）求的值，并求证：数列｛a_n｝是等比数列；

（II）若，其中n∈N*，试比较9与大小，并说明理由.

Answer

（1），

数列｛an｝是首项为，公比为的等比数列。   （2）9>.

【解析】本试题主要是考查了数列的求和和数列的通项公式的 运用。证明数列是否为等比数列以及关于数列的单调性的运用。比较大小。

（1）对n赋值得到前两项，然后发现规律得到

，从而证明等比数列

（2）由(1)知，然后利用分组求和得到前n项和的结论，并利用作差法比较大小。

证明：（1）＝2，，

，

∴

∴，∴数列｛an｝是首项为，公比为的等比数列。

（2）由(1)知

两式相减得： 

，又

当n=1时，9＜；

当n=2时，9＜；

当n≥3时，22n=[(1+1)n]2=()2>(2n+1)2,∴9>.