Question

已知函数．

（I）判断函数在上的单调性（为自然对数的底）；

（II）记为的导函数，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围。

Answer

（I）若,当时，函数在上单调递减，

           当时，函数在上单调递增，

若,则,函数在上单调递减.

（II） 。

【解析】本试题主要是考查了导数的在研究函数中的运用。判定函数单调区间，以及函数的极值问题的综合运用

（1）由已知函数得到导函数，然后对于参数a分类讨论得到其单调区间，注意讨论的完备性。

（2）要是函数在给定区间存在极值，说明了导数值为零的点在该点左右两侧函数值异号，那么借助于概念分析求解。

【解析】
（I）        …………1分

若,当时，函数在上单调递减，

           当时，函数在上单调递增，…………5分

若,则,函数在上单调递减.                …………7分

（II） ，   ，  …………8分

方法一：函数在区间上存在极值

等价为关于方程在上有变号实根

……11分        在上单调递减，在上单调递增。

          …………14分

 当时，，不存在极值  ……15分

 方法二：   等价为关于方程在上有变号实根。

⑴   关于方程在上有两个不相等实数根；

                       …………10分

⑵关于方程在上有一个实数根；

                    …………12分

时，的解为

 符合题意            …………13分

当时，的解为

均不符合题意  (舍)………14分    综上所述，．………15分