Question

（本题满分14分）如图，四边形ABCD中，为正三角形，，，AC与BD交于O点．将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内．

（Ⅰ）求证：平面PBD；

（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.

Answer

 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ).

【解析】本试题主要是考查 了空间几何体中线面垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用。

（1）要证明线面垂直，只要利用线面垂直的判定定理即可，关键是证明则AC垂直于BD，又AC垂直于PO

（2）可以建立空间直角坐标系，通过法向量与法向量的夹角求解二面角大小，或者利用三垂线定理求解二面角，从而得到求解。

【解析】
(Ⅰ)易知为的中点，则，又，

        又，平面，

        所以平面    （5分）

    (Ⅱ)方法一：以为轴，为轴，过垂直于

平面向上的直线为轴建立如图所示空间

直角坐标系，则,

            （7分）

易知平面的法向量为  （8分）

，

设平面的法向量为

则由得，

解得，，令，则  （11分）

则

解得，，即，即，

又，∴

故.（14分）

方法二：

作，连接，

由(Ⅰ)知平面，又平面，

∴，又，平面，

∴平面，又平面，

∴，

∴即为二面角的平面角 （8分）

作于，由平面及平面知，

又，平面，所以平面

所以即为直线与平面所成的角，即   （10分）

在中，，

由=知，，

则，又，所以，故.（14分）