Question

（本题满分15分）如图，分别过椭圆E：左右焦点、的动直线l₁、l₂相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率、、、满足．已知当l₁与x轴重合时，，．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）是否存在定点M、N，使得为定值．若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）．

（Ⅱ）存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得为定值．

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）利用已知中的线段的长度得到a,b,c的关系式，进而求解得到椭圆的方程。

（2）设出直线与椭圆联立，利用韦达定理来表示坐标关系，同时利用斜率的知识求解得到参数的关系式，进而证明定值。

解（Ⅰ）当l1与x轴重合时，，即，（2分）

∴ l2垂直于x轴，得，，（4分）

得，， ∴ 椭圆E的方程为．（6分）

（Ⅱ）焦点、坐标分别为(-1, 0)、(1, 0)．

当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)．

当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为，，设，，

由得 ，

∴ ，．（8分）

，（10分）

同理．

∵， ∴，即．

由题意知， ∴．（12分）

设，则，即，（14分）

由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足，

∴点椭圆上，

∴ 存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得为定值．（15分）