Question

如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

Answer

（1）见解析    （2）二面角的余弦值为

【解析】(I)本小题通过证平面MBF即可.

(2)本小题的关键是作出二面角的平面角．延长交于，连，过作，连结．证为平面与平面所成的二面角的平面角即可

（法一）（1）平面平面， ．………1分

又，平面而平面

．  ……3分是圆的直径，．

又，．

平面，，平面．

与都是等腰直角三角形．．

，即（也可由勾股定理证得）．

，  平面．而平面，． 7分

（2）延长交于，连，过作，连结．

由（1）知平面，平面，．而，

平面．平面，，

为平面与平面所成的二面角的平面角．

在中，，，．

由，得．．2

又，，则．

是等腰直角三角形，．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…14分

（法二）（1）同法一，得．

如图，以为坐标原点，垂直于、、所在直线为轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得，

．由，

得， ．  …7分

（2）由（1）知．设平面的法向量为，

由 得，

令得，，  ……9分由已知平面，所以取面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，

则，

平面与平面所成的锐二面角为