Question

已知椭圆长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：3＋2，3－2.

（1）求椭圆的方程；

（2）如果直线 与椭圆相交于A,B，若C（－3,0），D(3,0），证明：直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；

（3）过点Q(1,0 )作直线l (与x轴不垂直）与椭圆交于M,N两点，与y轴交于点R，若，求证：为定值.

Answer

（1）        （2）直线CA与直线BD的交点K必在双曲线上.   （3）    

【解析】(1)由题意可知a+c,和a-c,所以可求出a,c的值,进而求出b的值.

(2) 依题意可设，且有，然后求出CA、DB的方程,解出它们的交点再证明交点坐标是否满足双曲线的方程即可.

(3) 设直线的方程为，再设、、，然后直线方程与椭圆C的方程联立，根据，可找到,,同理,则,然后再利用韦达定理证明

（1）由已知，得，，

所以椭圆方程为       4分

（2）依题意可设，且有，

又，，，

将代入即得

所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线上.       9分

（3）依题意，直线的斜率存在，则设直线的方程为，

设，则两点坐标满足方程组，

消去整理得，所以，① 因为，所以，

即，因为l与x轴不垂直，所以，则，

又，同理可得，所以

由①式代人上式得