Question

已知函数在处的切线斜率为零．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；

 (Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ） 或（舍去）．．   （Ⅱ）见解析   (Ⅲ) ．    

【解析】(1)求导根据求出的值,再根据曲线f(x)过点,求出b的值.

(2)证明:f(x)在R上的最小值恒大于或等于零即可.利用导数研究单调性极值,求出最值即可.

(3)先求出,然后分、和三种情况进行讨论.分别研究其最小值,令最小值m>2e即可

（Ⅰ）【解析】
.

由题意有即，解得或（舍去）．

得即，解得．    -----5分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

．

在区间上，有；在区间上，有．

故在单调递减，在单调递增，

于是函数在上的最小值．

故当时，有恒成立．              …………10分

(Ⅲ) ．当时，则，当且仅当时等号成立，

故的最小值，符合题意；

当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；

当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数的取值范围是